Problem2026 · 浙江台州质量评估定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f’(x)$，若存在常数 $k (k > 1)$，对于任意实数 x，都有 $f(4 - x) = e^{2k(2 - x)} f(x)$，且当 $x \ne 2$ 时，$(x - 2) \left[ f’(x) - k \cdot f(x) \right] > 0$，其中 $e$ 为自然对数的底数，则不等式 $e^{3k} f(\ln x) < x^k f(3)$ 的解集为
Solution纸老虎来的。
看到题干第一时间想到的是类对称性、构造、同构整合到一块。如果你的注意力不算惊人的话第一个对称性的条件并不能带来比较有价值的信息，但显然可以猜测某个函数关于 $x = 2$ 对称。不妨先将其放到一边看看最后一个式子，不难发现是同构：
$$e^{3k} f(\ln x) < x^k f(3)$$
$$\frac{f(\ln x)}{x^k} < \frac{f(3)}{e^{3k}}$$
$$\frac{f(\ln x)}{e^{k \cdot \ln x}} < \frac{f(3)}{e^{k \cdot 3}}$$
其实构造完了就可以猜了令 $F(x) = \frac{f(x)}{e^{kx}}$，这样第二个条件也能用了：
$$F’(x) = \frac{f’(x) - k \cdot f(x)}{e^{kx}}$$
$$(x - 2) \left[ f’(x) - k \cdot f(x) \right] > 0 \Leftrightarrow (x - 2)F’(x) > 0$$
即 $(x - 2)$ 与 $F’(x)$ 同号。因此函数 $F(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 上单调递减，在 $(2, +\infty)$ 上单调递增。
相比于从第三个条件构造函数来说，从第二个条件出发构造或许会难一点，如果题见的少的话。
同理第一个条件也能够翻译了：
$$f(4 - x) = e^{2k(2 - x)} f(x)$$
$$f(4 - x) = e^{k(4 - x) - kx} f(x)$$
$$\frac{f(4 - x)}{e^{k(4 - x)}} = \frac{f(x)}{e^{kx}}$$
即函数 $F(x)$ 关于 $x = 2$ 对称。答案也就显而易见了。
Problem2025 · 南开期中（节选）数列 ${a_n}$ 的通项公式为 $a_n = 3n$，数列 ${b_n}$ 的通项公式为 $b_n = 3n - 1$。将数列 ${a_n}, {b_n}$ 的所有项从小到大重新排列得到新数列${d_n}$，在数列 ${d_n}$ 的前 $2n$ 项中随机取一项 $d_k (k \in \mathbb{N}^{*}, k \le 2n)$，再从不大于 $d_k$ 的项中随机取一项将其记为 $X$，若 $X$ 的期望为 $E(X)$，求证 $E(X) > \frac{3n}{4} + \frac{11}{8}$
Solution计算量取决于你的思路。提供两种解法。
解法一：
固定 $d_k$ ，对于每一个 $d_k (k \in \mathbb{N}^{*}, k \le 2n)$ 其对 $E(X)$ 的贡献为 $d_i (i \in \mathbb{N}^{*}, i \le k)$ 的期望。令：
$$S_k = \sum_{i = 1}^{k} d_i$$
$d_i$ 等概率，则 ：
$$E(X | d_k) = \frac{S_k}{k}$$
所以：
$$E(X) = \frac{1}{2n} \sum_{k = 1}^{2n} \frac{S_k}{k}$$
由于 ${d_n}$ 是由两数列合并过来，且排列为 ${ b_1, a_1, b_2, a_2 \cdots b_n, a_n}$，因此仅对 $n$ 分奇偶讨论即可
$$\begin{aligned} E(X) &= \frac{1}{2n} \sum_{k = 1}^{2n} \frac{S_k}{k} \cr &= \frac{1}{2n} \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{S_{2k - 1}}{2k - 1} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{S_{2k}}{2k} \right) \cr &= \frac{1}{2n} \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sum\limits_{i = 1}^k [(3i - 1) + 3i]}{2k - 1} +\sum_{k = 1}^{n} \frac{\sum\limits_{i = 1}^k [(3i - 1) + 3i] - a_k}{2k} \right) \cr &= \frac{1}{2n} \left( \sum_{k = 1}^{n} \left(\frac{3}{2}k + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2k - 1)}\right) + \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{3}{2}k + 1 \right) \right) \cr &= \frac{1}{2n} \left( \frac{3n(n + 1)}{2} + \frac{5}{4}n + \frac{1}{4} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2k - 1}\right) \cr &= \frac{3}{4}n + \frac{11}{8} + \frac{1}{8n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2k - 1} > \frac{3}{4}n + \frac{11}{8} \end{aligned}$$
QED.
解法二：
看起来上面这一坨式子并不太优雅虽然如果好好写的话还是能看的，解法二作为我当时做这道题的想法与解法一相比就相形见绌了，因为涉及到调和数需要交换求和导致整个式子又臭又长。有耐心的可以看看
精简版QAQ.固定 $d_i$，对于每一个 $k$，对 $d_i$ 的贡献为 $\frac{1}{k}$。（因为推导太复杂了符号不会严格遵循题干）因此：
$$\begin{aligned} E(X) &= \sum_{i = 1}^{2n} d_i \left( \frac{1}{2n} \sum_{j = i}^{2n} \frac{1}{j} \right) \cr &= \frac{1}{2n}\left( \sum_{i = 1}^n 3i\sum_{j = 2i}^{2n}\frac{1}{j} + \sum_{i = 1}^n(3i - 1)\sum_{j = 2i - 1}^{2n}\frac{1}{j} \right) \cr &= \frac{1}{2n}\left( 3\sum_{i = 1}^n i\left( \sum_{j = 2i}^{2n}\frac{1}{j} + \sum_{j = 2i - 1}^{2n}\frac{1}{j} \right) - \sum_{i = 1}^n \sum_{j=2i - 1}^{2n}\frac{1}{j} \right) \cr &= \frac{1}{2n}\sum_{j = 1}^{2n} \frac{1}{j} \left( 3\sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{j}{2} \rfloor} i + 3\sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{j+1}{2} \rfloor} i - \left\lfloor \frac{j + 1}{2}\right\rfloor \right) \cr &= \frac{1}{2n}\sum_{k = 1}^n \left( \frac{3k^2 - k}{2k - 1} + \frac{3k^2 + 2k}{2k} \right) \cr &= \frac{1}{2n}\sum_{k = 1}^n \left( 3k + \frac{5}{4} + \frac{1}{4(2k - 1)} \right) \cr &= \frac{3}{4}n + \frac{11}{8} + \frac{1}{8n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2k - 1} > \frac{3}{4}n + \frac{11}{8} \end{aligned}$$
QED.
饿啊…
第四五步奇偶讨论省了点过程应该看得懂吧（
不知道为什么标准答案写得这么构式，最后还要用放缩（可以去搜搜长啥样），还是我的优雅（确信
Problem如图，$O$ 是平行四边形 ABCD 所在平面内的一点，且满足 $\angle AOB = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{\pi}{6},\ 2\sqrt3|\overrightarrow{OA}| = 2|\overrightarrow{OB}| = 3|\overrightarrow{OC}| = 6$，则 $|\overrightarrow{OD}| = (\ )$
Solution解法一：
$$|AO|, |BO|, \angle AOB \Rightarrow |AB| = |CD| = \sqrt3, \angle AOB = \frac{2\pi}{3}$$
$$\angle AOB, \angle BOC \Rightarrow \angle AOC = \frac{\pi}{2}$$
五边形内角和为 $540^\circ$
$$\angle COD + \angle CDO = 540^\circ - \angle AOB - \angle AOC - ( \angle ABC + \angle BCD) = 150^\circ \Rightarrow \angle COD = \frac{\pi}{6}$$
$$|OC|, |CD|, \angle OCD \Rightarrow |OD| = 1$$
故选 C.
解法二：
题是归属于向量的，但是一点也没有上面的几何法优雅。所以意义素？
$$|\overrightarrow{OD}| = |\overrightarrow{OC}| + |\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{OC}| + |\overrightarrow{OA}| - |\overrightarrow{OB}|$$
$$\begin{aligned} {|\overrightarrow{OD}|}^2 &= (|\overrightarrow{OC}| + |\overrightarrow{OA}| - |\overrightarrow{OB}|)^2 \cr &= {|\overrightarrow{OC}|}^2 + {|\overrightarrow{OA}|}^2 + {|\overrightarrow{OB}|}^2 + 2 |\overrightarrow{OC}| \cdot |\overrightarrow{OA}| - 2 |\overrightarrow{OC}| \cdot |\overrightarrow{OB}| - 2 |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}|\end{aligned}$$
所有条件已知，带入解出 $|OD|$ 即可。
题挺常规的，但是自己刚补向量注意力总是不那么惊人 ):