『Minecraft 实体运动公式拓展推导』

前言

本文内容包含大量数学与物理公式，需要具备一定的数理基础阅读。

因为一些客观因素博客中的部分公式并不完全，建议下载 PDF 版本（见附件）食用更佳。

实体基本运动公式

一些必要参数及定义

• 速度：$v_H$、$v_Y$，表示实体在水平、垂直上的速度。
• 初始垂直速度：$v_{Y, 1}$，取决于跳跃速度或服务器垂直击退参数。
• 方块滑度系数：$f_S$。
• 移动乘数：$k_M$。
• 效果乘数：$k_E$。
• 速度阈值：$v_{th} = 0.005 \text{ m/tick}$，当实体在某条轴上的速度经衰减后小于该值时，对应轴上的速度归零，仅保留加速度（1.9 及以上版本阈值变为 $0.003 \text{ m/tick}$）。

水平运动递推公式

• 水平地面速度公式：$$v_{H, t} = \underbrace{v_{H, t-1} \times f_{s, t-1} \times 0.91} _ \text{动量保留} + \underbrace{0.1 \times \left( \frac{0.6}{f_{s, t}}\right)^3 \times k_M \times k_E} _ \text{加速度}\tag{1.2.1}$$
• 水平空中速度公式：$$v_{H, t} = \underbrace{v_{H, t-1} \times 0.91} _ \text{动量保留} + \underbrace{0.02 \times k_M} _\text{加速度} \tag{1.2.2}$$
• 水平空中飞行公式：$$v_{H, t} = \underbrace{v_{H, t-1} \times 0.91} _ \text{动量保留} + \underbrace{0.05 \times k_{M-fly}}_\text{加速度} \tag{1.2.3}$$

垂直运动递推公式

• 垂直速度公式：$$v_{Y, t} = \left( v_{Y, t-1} - \mathop{0.08} \limits_\text{重力} \right) \times \mathop{0.98}\limits_\text{阻力} \tag{1.3.1}$$

为了方便表示，后文中设公式 (1.2.1)、公式 (.2.2)、公式 (1.2.3) 中所有动量保留项的系数为 $\alpha$，加速度项为 $\beta$。公式 (1.3.1) 展开后同理。

稳态（渐进）速度推导

经典力学下的运动

$$\frac{dv}{dt} = a - fv \tag{2.1.1}$$

$$v = v_0 e^{-ft} + \frac{a}{f} (1 - e^{-ft})\tag{2.1.2}$$

$$\frac{v}{v_0} = \lim\limits_{t_0 \to 0} (1 - f t_0)^{\frac{t}{t_0}}, a = \tag{2.1.3}$$

其余见 『低版本 pvp 中玩家最优 kb 的点击频率下限分析』 中 『经典力学下的运动』小结，这里不过多阐述。

水平稳态（渐进）速度

假设实体在运动过程中所有状态不变（$f_S$ 为常数），原递推式为一阶线性差分方程：$$v_t = \alpha , v_{t-1} + \beta \tag{2.2.1}$$

齐次方程 $v_t^{(h)} = \alpha v_{t-1}^{(h)}$ 的解为 $v_t^{(h)} = C \alpha^t$。由于非齐次项 $\beta$ 为常数，设其特解为 $K$，代入原方程 (2.2.1) 得：$$K = \alpha K + \beta$$

即 $K = \frac{\beta}{1 - \alpha}, \ \alpha \neq 1$，特解为：$$v_t^{(p)} = \frac{\beta}{1 - \alpha}$$

方程 (2.2.1) 的通解为齐次解与特解之和：$$v_t = C \alpha^t + \frac{\beta}{1 - \alpha}$$

当 $t = 0$：$$v_0 = C + \frac{\beta}{1 - \alpha}$$

将 $C = v_0 - \frac{\beta}{1 - \alpha}$ 代入通解得：$$v_t = \left( v_0 - \frac{\beta}{1 - \alpha} \right) \alpha^t + \frac{\beta}{1 - \alpha} = v_0 \alpha^t + \beta \frac{1 - \alpha^t}{1 - \alpha} \tag{2.2.2}$$

由于 $|\alpha| < 1$ 恒成立，该方程收敛。当 $t \to \infty$，稳态速度：$$v_{\infty} = \frac{\beta}{1 - \alpha}$$

代入 $\alpha = 0.91 f_s$ 和 $\beta = 0.1 \left( \frac{0.6}{f_s} \right)^3 k_M k_E$ 得：$$\boxed{v_{\infty} = \frac{0.1 \left( \frac{0.6}{f_s} \right)^3 k_M k_E}{1 - 0.91 f_s}} \tag{2.2.3}$$

水平飞行稳态（渐进）速度

这里提供另一种的推导方法。

已知每刻（tick）的时间长度 $\Delta t = 0.05s$，对于连续的时间 $t$ 与刻数 $n$：$$t = n \Delta t, \ v(t) \approx v_n$$

将原递推方程移项得到：$$v_n - v_{n - 1} = (\alpha - 1) v_{n - 1} + \beta$$

同时除以 $\Delta t$：$$\frac{v_n - v_{n - 1}}{\Delta t} = \frac{(\alpha - 1) v_{n - 1}}{\Delta t} + \frac{\beta}{\Delta t}$$

令：$$f = \frac{1 - \alpha}{\Delta t}, \ a = \frac{\beta}{\Delta t}$$

得到微分方程 (2.1.2)，其积分因子 $\mu(t) = e^{ft}$。两边同时乘以 $\mu(t)$：

$$e^{ft} \frac{dv}{dt} + f e^{ft} v = a e^{ft}$$

$$\frac{d}{dt} \left( e^{ft} v \right) = a e^{ft}$$

对 $t$ 积分：$$e^{ft} v = \int a e^{ft} , dt = \frac{a}{f} e^{ft} + C$$

两边除以 $e^{ft}$，得到：$$v = \frac{a}{f} + C e^{-ft}$$

初始时 $v(0) = v_0$，则将常数 $C = v_0 - \frac{a}{f}$ 代入通解得到公式 (2.1.2)。当 $t \to \infty$，稳态速度：$$v_{\infty} = \frac{a}{f} = \frac{\beta}{1 - \alpha}$$

代入 $\alpha = 0.91$ 和 $\beta = 0.05 k_{M-fly}$ 得：$$\boxed{v_{\infty} = \frac{0.05 k_{M-fly}}{0.09}} \tag{2.2.4}$$

部分状态下的稳态速度

垂直稳态（渐进）速度

自由落体终端速度

前文的推导过程已经很详细了，因此这部分只给出结论。

根据公式 (1.3.1) 得到终端速度：$$\boxed{v_{\infty} = -3.920 \text{ m/tick} = -78.400 \text{ m/s}}\tag{2.4.1}$$

位移相关公式推导

单一方向位移与时间关系推导

位移 $s(t)$ 为前 $t$ 个速度之和：$$s(t) = \sum_{i=0}^{t-1} v_i$$

根据位移与速度关系式 (2.2.2)，代入 $v_i$：$$s(t) = \sum_{i = 0}^{t - 1} \left( \alpha^i v_0 + \beta \frac{1 - \alpha^i}{1 - \alpha} \right) = v_0 \sum_{i = 0}^{t - 1} \alpha^i + \frac{\beta}{1 - \alpha} \sum_{i = 0}^{t-1} (1 - \alpha^i)$$

分别计算两个求和：

$$\sum_{i = 0}^{t-1} \alpha^i = \frac{1 - \alpha^t}{1 - \alpha}$$

$$\sum_{i = 0}^{t - 1} (1 - \alpha^i) =\sum_{i = 0}^{t - 1} 1 - \sum_{i = 0}^{t - 1} \alpha^i = t - \frac{1 - \alpha^t}{1 - \alpha}$$

即：$$s(t) = v_0 \frac{1 - \alpha^t}{1 - \alpha} + \frac{\beta}{1 - \alpha} \left( t - \frac{1 - \alpha^t}{1 - \alpha} \right)$$

整理并化简：$$\boxed{s(t) = \left( \frac{v_0}{1 - \alpha} - \frac{\beta}{(1 - \alpha)^2} \right) (1 - \alpha^t) + \frac{\beta}{1 - \alpha} t}\tag{3.1.1}$$

跳跃过程中水平与垂直位移关系函数推导

疾跑跳跃时水平速度会增加 0.2，但在这里不讨论初速度的问题。

将公式 (1.3.1) 中对应的 $\alpha$ 和 $\beta$ 代入公式 (3.1.1) 中：$$y(t) = \left( \frac{v_0}{1 - 0.98} - \frac{0.0784}{(1 - 0.98) ^ 2}\right) (1 - 0.98^t) + \frac{0.0784}{1 - 0.98} t$$

化简后得到：$$y(t) = \left( \frac{v_0}{0.98} + 4 \right) 0.98^t - 3.92$$

令 $K = \frac{v_0}{0.98} + 4,\ i = 0.98^t$：

$$y = K i - 3.92$$

则：$$i = \frac{y + 3.92}{K}$$

$$t = \log_{0.98} i = \frac{\ln i}{\ln 0.98}$$

若公式 (3.1.1) 表示水平移动的速度与时间关系，令：$$\gamma =\frac{v_0}{1 - \alpha} - \frac{\beta}{(1 - \alpha)^2},\ \delta = \frac{\beta}{1 - \alpha}$$

则：$$x(t) = \gamma (1 - \alpha^t) + \delta t \tag{3.2.1}$$

将 $\alpha^t$ 用 $i$ 表示：$$\alpha^t = e^{t \ln \alpha} = e^{\frac{\ln i \ln \alpha}{\ln 0.98}} = i^{\frac{\ln \alpha}{\ln 0.98}}$$

将 $\alpha^t$ 代入公式 (3.2.1) 得：$$x = \gamma (1 - i^{\frac{\ln \alpha}{\ln 0.98}}) + \delta \frac{\ln i}{\ln 0.98}$$

再代入 $i$：$$x = \gamma\left( 1 - \left( \frac{y + 3.92}{K} \right)^{\frac{\ln \alpha}{\ln 0.98}}\right) + \delta \frac{\ln \left(\frac{y + 3.92}{K} \right)}{\ln 0.98} \tag{3.2.2}$$

将 $\gamma = \frac{v_0}{1 - \alpha} - \frac{\beta}{(1 - \alpha)^2},\ \delta = \frac{\beta}{1 - \alpha}, \ \alpha = 0.91, \ \beta = 0.02 k_M, \ K = \frac{v_0}{0.98} + 4 $ 代入公式 (3.2.2) 得：$$x = \left( \frac{v_0}{0.09} - \frac{0.02 k_M}{0.0081} \right) \left[ 1 - \left( \frac{y + 3.92}{\frac{v_0}{0.98} + 4}\right) ^ {\frac{\ln 0.91}{\ln 0.98}} \right] + \frac{0.02 k_M}{0.09 \ln 0.98} \ln \left( \frac{y + 3.92}{\frac{v_0}{0.98} + 4} \right) $$

再略微化简一下：$$\boxed{x = \frac{100}{81}(9v_0 - 2k_M) \left[ 1 - 0.91 \left( \frac{y + 3.92}{v_0 + 3.92} \right)^ {\frac{\ln 0.91}{\ln 0.98}} \right] + \frac{2k_M}{9} \left( 1 + \log_{0.98} \left( \frac{y + 3.92}{v_0 + 3.92} \right) \right) } \tag{3.2.3}$$

附件

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