概念
具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体 .
元素是数的集合 , 叫做数集 .
集合中元素的个数叫基数 , 也叫势 ( 有限集 ) 集合 $S$ 记作 $\lvert S \rvert$ .
常用大写字母表示集合 , 小写字母表示元素 .
性质
确定性 : ( 一个元素 ) 要么有 , 要么没有 .
无序性 : 不同集合与集合内的元素排列无关 .
互异性 : 集合内没有两个相同的元素 .
关系
集合与元素
属于 : $\in$ , 不属于 : $\not \in$ . 集合与元素是相对概念 .
集合与集合
包含于 : $\subseteq$ , 不包含于 : $\nsubseteq$ , 真包含于 $\subsetneqq$ .
所有由集合 $S$ 组成的集合叫做 $S$ 的幂集 . 基数为 $n$ 的有限集的幂集的基数为 $2^n$ .
运算
- 交集 : $A$ 与 $B$ 中公共元素组成的集合 , $A \cap B = { x \mid x \in A \and x \in B }$ .
- 并集 : $A$ 与 $B$ 所有的元素组成的集合 , $A \cup B = { x \mid x \in A \or x \in B }$ .
- 补集 :
- 相对补集 : 两个集合 $A$ , $B$ 的补集为 $x \mid x \not \in A \and x \in B$ .
- 绝对补集 ( 简称补集 ) : 给定全集 $\mathbb{U}$ , 则 $A^\prime$ 表示 $A$ 在 $\mathbb{U}$ 中的相对补集为 $A$ 的绝对补集 .
运算律
交换律 : $A \cap B = B \cap A$ , $A \cup B = B \cup A$ .
结合律 : $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ , $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ .
分配对偶律 : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .
对偶律 : $(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$ , $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$ .
吸收律 : $A \cup (A \cap B) = A$ , $A \cap (A \cup B) = A$ .
反演律 ( 摩根律 ) : $(A \cup B)^\prime = A^\prime \cap B^\prime$ , $(A \cap B)^\prime = A^\prime \cup B^\prime$ .
Special Knowledge
空集
不含任何元素的集合叫空集 , 用 $\varnothing$ 表示 .
对于任意集合 $S$ , 有 $\varnothing \subseteq S$ , $\varnothing \subsetneqq S$ ( 非空 ) , $S \cap \varnothing = \varnothing$ , $S \cup \varnothing = S$ .
空集的基数为 0 .
空集的唯一子集是它本身 .
特殊的集合符号
$\mathbb{C}$ ( 负数集 ) , $\mathbb{R}$ ( 实数集 ) , $\mathbb{Q}$ ( 有理数集 ) , $\mathbb{Z}$ ( 整数集 ) , $\mathbb{N}$ ( 自然数集 ) .
不知道为什么这个主题不支持渲染 \and 和 \or , 所以凑合着看吧 QwQ .